B. Schmeikal: Tessarinen, Nektarinen und andere Vierheiten


Tessarinen, Nektarinen und andere Vierheiten – Beweis einer Beobachtung von Gerhard Opfer (German)

Bernd Schmeikal, Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft Hamburg, Vol. 34 (2014), pp. 1-28, ISSN 0340-4358.

Abstrakt: Hamilton’sche Quaternionen sind nicht die einzigen Vierheiten. Es gibt noch andere, aehnliche reelle, vierdimensionale Algebren, wie etwa die Tessarinen, die wir auch als bikomplexe Zahlen bezeichnen oder die von Segre vorgeschlagenen kommutativen Quaternionen. Neulich hat Gerhard Opfer darauf hingewiesen, dass es neben den Quaternionen, Koquaternionen, Tessarinen und Kotessarinen noch vier weitere fuer die Funktionalanalysis gleichermassen bedeutende reelle Algebren von Vierheiten gibt. Er vermutete, dass sich die vier ‘neuen Algebren 1 bis 4` aus den vier schon bekannten ableiten lassen. In dieser Arbeit wird gezeigt, dass Opfers Vermutung richtig ist. Wir verwenden fur den Beweis eine Methode, die auf der Zerlegung der Basis einer Clifford Algebra in ein direktes Produkt von Symmetrien und Binarfolgen beruht. Dabei wird zunaechst das Konzept eines ‘Organisators` im Gegensatz zu dem des Operators eingefuehrt. Die derart in zwei abelsche Bestandteile zerlegte Clifford Algebra ist der von Kauffman konstruierten Iteranten-Algebra aehnlich. Alle acht quaternionischen Algebren werden dadurch gewissermaen auf eine Mutteralgebra zuruckgefuehrt. Im vorliegenden Fall ist diese eine kommutative Algebra von Segre Quaternionen, die der Kotessarinen. Aus den Kotessarinen entstehen acht Typen der reellen Quaternionen durch geschickte Umordnung. Diese Umordnung nenne ich nicht kommutative Organisation von Binaerfolgen. Organisation ist eine verallgemeinerte Form der Iteration. Die nicht kommutative Umordnung von unendlichen Binarfolgen stammt von Kauffman (2011). Kauffman erfand einen speziellen zeitlichen Schiebeoperator, mit dem die Algebra der ‘Iterant Views` konstruiert werden konnte, um die dynamischen Grundlagen der Quantenmechanik verstaendlich zu machen.

Source: Email from B. Schmeikal, bas.schmei_AT_gmail.com, Sunday, August 10, 2014 11:21:32 AM

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