# Book: G. Sobczyk, New Foundations in Mathematics: The Geometric Concept of Number

New Foundations in Mathematics: The Geometric Concept of Number

by Garret Sobczyk, Universidad de las Am´ericas-Puebla, Departamento de F´ısico-Matem´aticas, Apartado Postal #100, Santa Catarina M´artir, 72820 Puebla, Pue., M´exico, garret_sobczykATyahoo.com
©2009 by Garret Sobczyk, August 16, 2010, 273 pages

Preface
The development of the real number system, and the identification of real numbers with points on the real number line, represents both a milestone and a cornerstone in the foundation of modern mathematics. We assume readers are familiar with the real and complex number systems. By a field we mean the real or complex numbers, but we also consider modular number systems. …

Contents
1 Modular Number Systems 11
1.1 Beginnings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Modular Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Modular Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Interpolation Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Generalized Taylor’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Complex and Hyperbolic Numbers 33
2.1 The hyperbolic numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Hyperbolic Polar Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Inner and outer products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Idempotent basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 The cubic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6 Special relativity and Lorentzian geometry . . . . . . . . . . . 49
3 Geometric Algebra 53
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Geometric numbers of the plane . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 The geometric algebra IG3 of space . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4 Orthogonal transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5 Geometric algebra of IRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.6 Vector derivative in IRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 Vector Spaces and Matrices 75
4.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2 Matrix Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.1 Matrix multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3 Rules of matrix algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4 The matrices of IG2 and IG3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5 Outer Product and Determinants 91
5.1 The outer product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2 Applications to matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6 Systems of Linear Equations 101
6.1 Elementary operations and matrices . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2 Gauss Jordan Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.3 LU decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7 Linear Transformations on IRn 113
7.1 Definition of a linear transformation . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.2 The adjoint tranformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8 Structure of a Linear Operator 121
8.1 Rank of a linear operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.2 Characteristic polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.2.1 Minimal polynomial of f . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.2.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.3 Spectral decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.4 Jordan normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9 Linear and Bilinear Forms 141
9.1 The Dual Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.2 Bilinear Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.3 Quadratic Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.4 The Normal Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.5 Hermitian forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
10 Hermitian Inner Product Spaces 161
10.1 Fundamental concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.2 Orthogonality relationships in euclidean space . . . . . . . . . 166
10.3 Unitary geometric algebra of pseudoeucliean space . . . . . . . 168
10.4 Hermitian orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
10.5 Hermitian, Normal, and Unitary Operators . . . . . . . . . . . 179
10.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
10.6 Principal Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
10.7 Polar and Singular Value Decomposition . . . . . . . . . . . . 186
11 Geometry of moving planes 189
11.1 Relative geometric algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
11.2 Moving planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
11.3 Splitting the plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
12 Representation of the Symmetric Group 205
12.1 The twisted symmetric product . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
12.1.1 Special properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
12.1.2 Basic relationships . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
12.2 Geometric numbers in IG = cln,n . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
12.3 The twisted symmetric product of geometric numbers . . . . . 211
12.4 Symmetric groups in geometric algebras . . . . . . . . . . . . 216
12.4.1 The symmetric group S4 in cl4,4 . . . . . . . . . . . . . 216
12.4.2 The geometric algebra IG = cl4,4 . . . . . . . . . . . . . 220
12.4.3 The general construction in cln,n . . . . . . . . . . . . . 223
12.5 The heart of the matter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
13 Calculus on k-Surfaces 229
13.1 The boundary of a surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
13.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
13.2 The directed integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
13.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
13.3 Classical theorems of integration . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
13.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
14 Differential Geometry of Curves 241
14.1 Definition of a curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
14.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
14.2 Formulas of Frenet-Serret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
14.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
14.3 Special curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
14.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
14.4 Uniqueness theorem for curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
14.4.1 Exercises: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
15 Differential Geometry of k-Surfaces 253
15.1 The metric tensor of M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
15.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
15.2 Second Fundamental Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
15.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
15.3 Unit speed curves on M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
15.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
15.4 Gaussian, Mean, and Principal Curvatures of M. . . . . . . . 263
15.5 The Curvature Tensor of a Surface M. . . . . . . . . . . . . . 264
15.6 Isometries and Rigid Motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
15.7 Affine connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267